Esta página transforma os exercícios objetivos das cinco primeiras aulas do curso Fundamentos de Álgebra Linear e Otimização para Aprendizado de Máquina , do professor Marcos M. Raimundo, da Unicamp, em simulados interativos.
São cinco provas separadas por aula , totalizando 49 questões e 196 itens de verdadeiro ou falso . As questões discursivas não foram incluídas.
Cada questão contém quatro itens. Marque Verdadeiro ou Falso em todos eles e clique em Corrigir questão . Se você errar um único item, perde a questão inteira. Depois da correção, o sistema mostra a resposta certa e a explicação de cada afirmação.
Aula 18 questões Aula 212 questões Aula 312 questões Aula 48 questões Aula 59 questões
Aula 1 — Espaços vetoriais, normas e métricas 8 questões · 4 itens por questão · um erro anula a questão inteira
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0 de 8 questões corrigidas
Nota: 0/16
Questão 1 · 2 pontos
Teste 1 — Vetores de características e suas operações 1. Considere um vetor de atualização em otimização \(\Delta\mathbf{w}=-\eta\nabla L(\mathbf w)\), onde \(\eta>0\) é a taxa de aprendizado e \(\nabla L(\mathbf w)\) é o vetor gradiente da função de perda. Se, por um erro de implementação, o sinal de \(\eta\) fosse trocado para negativo, o vetor de atualização passaria a apontar exatamente na mesma direção de \(\nabla L(\mathbf w)\).
Verdadeiro Falso
2. Multiplicar um vetor de características \(\mathbf x\in\mathbb R^d\) por um escalar \(\alpha=0\) produz o vetor nulo, que deixa de estar associado a qualquer direção específica no espaço de características — a operação de escalonamento, portanto, deixa de estar definida nesse caso extremo.
Verdadeiro Falso
3. Em um sistema de recomendação, o vetor de perfil de um usuário é atualizado a cada clique somando um vetor de “interesse” ao perfil atual, \(\mathbf p_{t+1}=\mathbf p_t+\mathbf c_t\). Essa soma acumula sinais ao longo do tempo exatamente da mesma forma que a soma \(\mathbf u+\mathbf v\) de dois vetores de características, mesmo que \(\mathbf p_t\) e \(\mathbf c_t\) vivam em um espaço de embeddings de alta dimensão em vez de \(\mathbb R^2\).
Verdadeiro Falso
4. Como a soma de vetores segue a regra do paralelogramo e produz um vetor “maior” que cada parcela, é sempre verdade que \(\|\mathbf u+\mathbf v\|_2>\|\mathbf u\|_2\) e \(\|\mathbf u+\mathbf v\|_2>\|\mathbf v\|_2\), para quaisquer vetores não nulos \(\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^d\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 2 · 2 pontos
Teste 2 — Aprendizado supervisionado, a Hipótese de Suavidade e o \(k\)-NN 1. Se o hiperparâmetro \(k\) do \(k\)-NN for definido como \(k=N\) (igual ao número total de amostras de \(\mathcal D\)), a predição \(\hat y_{\text{novo}}\) para regressão (média dos \(k\) vizinhos) deixa de depender da posição da consulta \(\mathbf x_{\text{novo}}\), tornando-se constante para qualquer consulta.
Verdadeiro Falso
2. Suponha que a Hipótese de Suavidade fosse completamente falsa para um determinado problema — isto é, pontos muito próximos em \(\mathbb R^d\) tivessem rótulos tão distintos entre si quanto pontos distantes. Nesse cenário, aumentar \(k\) (considerar mais vizinhos na votação/média) resolveria o problema, pois a agregação por votação/média sempre corrige rótulos ruidosos.
Verdadeiro Falso
3. No \(k\)-NN, a fase de “treino” consiste apenas em armazenar o conjunto \(\mathcal D\), sem nenhuma otimização de parâmetros. Esse mesmo padrão — toda a “aprendizagem” reduzida a memorizar os dados, sem fase de ajuste de parâmetros — também descreve corretamente um classificador de regressão logística.
Verdadeiro Falso
4. Como o \(k\)-NN é chamado de método “não paramétrico”, isso significa que ele não possui nenhum hiperparâmetro a ser escolhido, sendo aplicado sempre da mesma forma independentemente do conjunto de dados.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 3 · 2 pontos
Teste 3 — Subespaços vetoriais e o teste de fechamento 1. O subconjunto \(U=\{\mathbf 0\}\), contendo apenas o vetor nulo de \(\mathbb R^d\), satisfaz as três condições de fechamento (conter a origem, ser fechado sob soma, ser fechado sob multiplicação por escalar) e portanto é, tecnicamente, um subespaço vetorial válido, ainda que trivial.
Verdadeiro Falso
2. Considere o conjunto-solução de um sistema não homogêneo \(A\mathbf x=\mathbf b\) com \(\mathbf b\ne\mathbf 0\) fixo e solúvel, isto é, \(U=\{\mathbf x\in\mathbb R^n : A\mathbf x=\mathbf b\}\). Esse conjunto deixa de conter a origem (pois \(A\mathbf 0=\mathbf 0\ne\mathbf b\)), mas ainda assim permanece fechado sob soma: dados \(\mathbf x_1,\mathbf x_2\in U\), a soma \(\mathbf x_1+\mathbf x_2\) também satisfaz \(A(\mathbf x_1+\mathbf x_2)=\mathbf b\).
Verdadeiro Falso
3. Considere o conjunto de todos os vetores de pesos \(\mathbf w\in\mathbb R^d\) de um classificador linear tais que o hiperplano de decisão \(\mathbf w^T\mathbf x=0\) passe exatamente por um ponto fixo \(\mathbf x_0\in\mathbb R^d\), \(\mathbf x_0\ne\mathbf 0\) — ou seja, \(U=\{\mathbf w\in\mathbb R^d : \mathbf w^T\mathbf x_0=0\}\). Esse conjunto \(U\) é um subespaço vetorial de \(\mathbb R^d\).
Verdadeiro Falso
4. Como subespaços vetoriais devem ser “fechados” segundo as três condições acima, e o conjunto de vetores de características associados a exemplos de uma única classe \(y=1\), em um problema de classificação binária, corresponde a uma região geometricamente “fechada” (limitada) do espaço, esse conjunto é necessariamente um subespaço vetorial de \(\mathbb R^d\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 4 · 2 pontos
Teste 4 — A Hipótese da Variedade (manifold) e sua relação com subespaços 1. Considere dados que vivem exatamente sobre a superfície de uma esfera em \(\mathbb R^3\) (uma variedade curva). Se, hipoteticamente, essa esfera tivesse raio tendendo a infinito (curvatura tendendo a zero), a região da variedade visitada por um conjunto finito de dados se tornaria aproximadamente um subespaço afim (o plano tangente local).
Verdadeiro Falso
2. Como a Hipótese da Variedade afirma que dados de alta dimensão se concentram perto de uma variedade de dimensão intrínseca menor, isso implica que essa variedade é sempre um subespaço vetorial de dimensão reduzida, apenas embutido (mergulhado) em um espaço maior.
Verdadeiro Falso
3. Um autoencoder é treinado para comprimir imagens de dígitos manuscritos (como o MNIST, originalmente vetores em \(\mathbb R^{784}\) para imagens \(28\times28\)) em um vetor latente de dimensão \(2\), com reconstrução precisa a partir desse vetor latente. Isso é coerente com a Hipótese da Variedade: os dígitos manuscritos residem próximos a uma variedade de dimensão intrínseca muito menor do que \(784\).
Verdadeiro Falso
4. Suponha que uma variedade de dados seja perfeitamente plana (sem curvatura), mas não passe pela origem de \(\mathbb R^d\) — ou seja, seja um subespaço afim deslocado. Nesse caso, a soma de dois pontos quaisquer dessa variedade ainda permanece sobre a própria variedade, pois “ser plana” já garante, por si só, o fechamento sob adição exigido de um subespaço vetorial.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 5 · 2 pontos
Teste 5 — Normas: \(L_1\), \(L_2\) e \(L_\infty\) 1. Para um vetor \(\mathbf x=[3,4]^T\in\mathbb R^2\), se generalizarmos para normas \(L_p\), \(\|\mathbf x\|_p=\left(\sum_i|x_i|^p\right)^{1/p}\), o valor \(\|\mathbf x\|_p\) converge para \(\max_i|x_i|=4\) à medida que \(p\to\infty\) — exatamente a definição de \(\|\mathbf x\|_\infty\) dada nesta aula.
Verdadeiro Falso
2. As três propriedades que definem uma norma (homogeneidade absoluta, desigualdade triangular, positividade definida) foram enunciadas conjuntamente. Se uma função \(f:\mathbb R^d\to\mathbb R\) satisfizesse a desigualdade triangular e a positividade definida, mas violasse a homogeneidade absoluta (por exemplo, \(f(\lambda x)=\lambda^2\|x\|_2\) em vez de \(|\lambda|\|x\|_2\)), essa função ainda poderia ser chamada de norma, já que as duas propriedades restantes já garantem que ela mede corretamente o “tamanho” de um vetor.
Verdadeiro Falso
3. Em regularização de modelos lineares (ex.: Lasso), a penalidade aplicada ao vetor de pesos \(\mathbf w\in\mathbb R^d\) é \(\|\mathbf w\|_1=\sum_{i=1}^d|w_i|\). Substituir essa penalidade por \(\|\mathbf w\|_\infty=\max_i|w_i|\) ainda produziria uma função de penalidade válida do ponto de vista da definição formal de norma, já que \(\|\cdot\|_\infty\) também satisfaz as três propriedades exigidas.
Verdadeiro Falso
4. Como as normas \(L_1\) e \(L_2\) induzem bolas unitárias de formatos geometricamente diferentes (losango vs. círculo), um vetor \(\mathbf x\) com \(\|\mathbf x\|_1<\|\mathbf y\|_1\) necessariamente também satisfaz \(\|\mathbf x\|_2<\|\mathbf y\|_2\), para quaisquer \(\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^d\), já que ambas as normas medem o mesmo conceito subjacente de “tamanho”.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 6 · 2 pontos
Teste 6 — Definição formal de métrica e métrica induzida por norma 1. A definição de métrica exige não-negatividade (com \(d(x,y)=0\iff x=y\)), simetria e desigualdade triangular. Se uma função \(\rho:X\times X\to\mathbb R\) satisfizesse não-negatividade e desigualdade triangular, mas fosse assimétrica (\(\rho(x,y)\ne\rho(y,x)\) para alguns pares), ela ainda poderia ser usada para ordenar os vizinhos mais próximos de uma consulta fixa \(\mathbf x_{\text{novo}}\) no \(k\)-NN (fixando sempre o primeiro argumento como a consulta), mesmo não sendo tecnicamente uma métrica válida.
Verdadeiro Falso
2. Toda função \(d:X\times X\to\mathbb R\) que satisfaça \(d(x,y)\ge0\) para quaisquer \(x,y\) e \(d(x,x)=0\) já pode ser chamada de métrica, pois não-negatividade e anulação na diagonal são exatamente os dois requisitos que caracterizam completamente o primeiro axioma — os demais axiomas (simetria, desigualdade triangular) seriam apenas propriedades adicionais desejáveis, não obrigatórias.
Verdadeiro Falso
3. Em um sistema de busca de imagens, a “distância” entre dois embeddings \(\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^{512}\) é definida como \(d(\mathbf u,\mathbf v)=\|\mathbf u-\mathbf v\|_2^2\) (a norma Euclidiana ao quadrado, sem a raiz). Essa função ainda satisfaz a desigualdade triangular \(d(u,z)\le d(u,y)+d(y,z)\) para quaisquer \(u,y,z\), herdando essa propriedade diretamente da norma \(L_2\), da mesma forma que \(d(x,y)=\|x-y\|_2\) satisfaz.
Verdadeiro Falso
4. A métrica induzida pela norma \(L_\infty\) desta aula, \(d_\infty(\mathbf x,\mathbf y)=\|\mathbf x-\mathbf y\|_\infty=\max_i|x_i-y_i|\), satisfaz automaticamente os três axiomas de métrica, pelo mesmo argumento geral de que toda métrica induzida por uma norma válida herda essas três propriedades da norma que a define.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 7 · 2 pontos
Teste 7 — Distância Euclidiana e a maldição da dimensionalidade 1. A “maldição da dimensionalidade” descrita para a distância Euclidiana implica que, em espaços de dimensão muito alta (\(d\gg1000\)), o algoritmo \(k\)-NN deixa de fazer qualquer sentido matemático, pois a distância entre quaisquer dois pontos passa a ser exatamente igual, tornando a operação de ordenação por distância mal definida.
Verdadeiro Falso
2. Suponha que, em vez da soma usual de \(d\) termos quadráticos, a norma \(L_2\) fosse recalculada usando apenas duas coordenadas fixas de um vetor de altíssima dimensão (\(d=10\,000\)), ignorando as demais \(9\,998\) coordenadas. Nesse caso reduzido, o fenômeno de perda de contraste descrito para altíssima dimensão deixaria de se manifestar da mesma forma, pois o “colapso” de distâncias é, estruturalmente, um efeito do número de coordenadas somadas na norma, não do rótulo nominal da dimensão do espaço ambiente.
Verdadeiro Falso
3. No dataset Breast Cancer Wisconsin (classificação de diagnóstico de tumores a partir de atributos contínuos), os atributos têm escalas bem diferentes — por exemplo, area_mean na casa das centenas e smoothness_mean na casa dos centésimos. Se o \(k\)-NN for aplicado sobre esses atributos sem nenhum reescalonamento (feature scaling), a distância Euclidiana entre dois pacientes será dominada pelos atributos de maior escala numérica, mesmo que atributos de escala menor sejam igualmente ou mais informativos para o diagnóstico.
Verdadeiro Falso
4. No caso particular em que o espaço de características tem dimensão \(d=1\) (uma única variável numérica), a distância Euclidiana \(d_2(x,y)=\|x-y\|_2\) se reduz a \(|x-y|\), e o fenômeno de “colapso de distâncias” descrito para dimensões muito altas não se aplica, pois não há múltiplas coordenadas cujas contribuições possam se diluir estatisticamente.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 8 · 2 pontos
Teste 8 — Similaridade e Distância do Cosseno: métrica ou quase-métrica? 1. Suponha, hipoteticamente, que a Desigualdade de Cauchy-Schwarz não fosse válida em \(\mathbb R^n\). Nesse cenário, a prova de não-negatividade de \(d_{\cos}(x,y)=1-\cos\theta\) — que depende de \(|\langle x,y\rangle|\le\|x\|_2\|y\|_2\) para limitar \(\cos\theta\) ao intervalo \([-1,1]\) — deixaria de ser válida como está, exigindo uma justificativa alternativa para garantir \(d_{\cos}(x,y)\ge0\).
Verdadeiro Falso
2. Como \(d_{\cos}(x,y)=1-\cos\theta\) satisfaz não-negatividade e simetria (dois dos três axiomas de métrica), e essas duas propriedades já capturam a “essência” do que significa medir distância, \(d_{\cos}\) pode ser tratada como uma métrica válida para todos os efeitos práticos e teóricos, inclusive em provas formais que dependam da desigualdade triangular.
Verdadeiro Falso
3. Em um algoritmo de agrupamento hierárquico aglomerativo aplicado a embeddings de texto, um passo do algoritmo depende de uma desigualdade do tipo “distância\((A,C)\le\) distância\((A,B)+\)distância\((B,C)\)” para garantir certas propriedades da árvore de fusões. Se \(d_{\cos}\) for usada diretamente como métrica de distância nesse algoritmo, contando com essa desigualdade, o resultado herda o mesmo risco identificado nesta aula: a garantia pode falhar exatamente pela mesma razão que \(d_{\cos}\) falha o axioma da desigualdade triangular.
Verdadeiro Falso
4. No caso extremo em que dois vetores não nulos \(x,y\in\mathbb R^n\setminus\{\mathbf 0\}\) são exatamente paralelos e de mesmo sentido (\(x=cy\) para algum \(c>0\)), a distância do cosseno atinge seu valor mínimo possível, \(d_{\cos}(x,y)=0\) — consistente com o primeiro axioma de métrica, mesmo sendo \(d_{\cos}\), no geral, uma quase-métrica por falhar a desigualdade triangular.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Aula 2 — Matrizes, sistemas lineares e independência 12 questões · 4 itens por questão · um erro anula a questão inteira
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0 de 12 questões corrigidas
Nota: 0/24
Questão 1 · 2 pontos
Teste 1 — A matriz de design 1. Se a matriz de design fosse transposta (linhas = atributos, colunas = observações), o produto que calcula as previsões, \(X\mathbf{w}\), ainda faria sentido dimensional sem qualquer outra mudança na definição de \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^d\).
Verdadeiro Falso
2. No caso degenerado em que o dataset tem uma única observação (\(N=1\)), a matriz de design \(X\) se reduz a um vetor-linha, e o produto \(X\mathbf{w}\) ainda é bem definido e produz um único número (a previsão daquela observação).
Verdadeiro Falso
3. Somar a coluna “renda média” com a coluna “número de cômodos” de um dataset produziria um número sem interpretação física direta, ainda que a operação de soma de vetores esteja matematicamente bem definida.
Verdadeiro Falso
4. Se dois atributos tiverem escalas numéricas muito distintas (ex.: renda em dólares e número de cômodos), isso impede, por si só, que a matriz de design seja usada corretamente num produto matriz-vetor \(X\mathbf{w}\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 2 · 2 pontos
Teste 2 — Definição formal de matriz e produto matricial 1. Se \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) e \(B\in\mathbb{R}^{n\times k}\) com \(k=1\), o produto \(AB\) se reduz exatamente ao produto matriz-vetor \(A\mathbf{x}\), com \(\mathbf{x}=B\) visto como vetor-coluna.
Verdadeiro Falso
2. Se a matriz de design \(X\) tivesse mais colunas do que linhas (\(d>N\)), o produto \(X\mathbf{w}\) com \(\mathbf{w}\in\mathbb{R}^d\) ainda estaria bem definido e produziria um vetor de previsões em \(\mathbb{R}^N\).
Verdadeiro Falso
3. Trocar a ordem do produto matriz-vetor, calculando \(\mathbf{w}^T X^T\) em vez de \(X\mathbf{w}\), produz o mesmo conjunto de valores de previsão, ainda que como um vetor-linha em vez de vetor-coluna.
Verdadeiro Falso
4. Como o produto \(AB\) só está definido quando o número de colunas de \(A\) é igual ao número de linhas de \(B\), isso significa que \(A\mathbf{x}\) e \(\mathbf{x}^TA\) nunca podem estar ambos definidos para a mesma matriz \(A\) e o mesmo vetor \(\mathbf{x}\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 3 · 2 pontos
Teste 3 — As duas leituras do produto matriz-vetor 1. Se a matriz \(A\) tivesse todas as suas colunas iguais entre si (idênticas), a leitura “por linha” de \(A\mathbf{x}\) deixaria de ser válida, mas a leitura “por coluna” continuaria válida.
Verdadeiro Falso
2. No caso em que \(\mathbf{x}\) é o vetor da base canônica \(\mathbf{e}_j\) (uma única entrada igual a \(1\), as demais \(0\)), a leitura “por coluna” de \(A\mathbf{x}\) se reduz exatamente à \(j\)-ésima coluna de \(A\), isolada.
Verdadeiro Falso
3. As duas leituras do produto matriz-vetor descrevem operações matematicamente diferentes, que apenas coincidem por coincidência numérica.
Verdadeiro Falso
4. Se \(X\) é uma matriz de design e \(\mathbf{w}\) tem exatamente uma entrada não nula (só o peso de um único atributo), a leitura “por coluna” de \(X\mathbf{w}\) implica que o vetor de previsões é simplesmente um múltiplo escalar da coluna daquele atributo em \(X\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 4 · 2 pontos
Teste 4 — Regressão Linear Múltipla como sistema linear 1. Se, em vez de \(N\gg d\), tivéssemos \(N=d\) exatamente e a matriz \(X\) tivesse posto completo, o sistema \(X\mathbf{w}=\mathbf{y}\) teria, genericamente, exatamente uma solução — nem sobredeterminado nem subdeterminado.
Verdadeiro Falso
2. No limite em que \(d=1\) (um único atributo), o sistema \(X\mathbf{w}=\mathbf{y}\) sobredeterminado (\(N\gg 1\)) se reduz a encontrar um único escalar \(w\) que melhor “explica” \(N\) pontos \((x_i,y_i)\).
Verdadeiro Falso
3. Um sistema sobredeterminado de reconhecimento facial, com muito mais pixels medidos (\(N\)) do que parâmetros de um modelo de regressão a estimar (\(d\)), enfrentaria, genericamente, o mesmo problema de “nenhuma solução exata” que um sistema sobredeterminado de preços de imóveis (muito mais bairros do que atributos).
Verdadeiro Falso
4. Como um sistema sobredeterminado não tem, genericamente, solução exata, isso implica que a Regressão Linear Múltipla é uma técnica inútil nesse regime.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 5 · 2 pontos
Teste 5 — As três formas de solução de um sistema linear 1. Existe algum sistema sobredeterminado (mais equações que incógnitas) que tenha, mesmo assim, uma solução exata — não é uma impossibilidade lógica, só um evento não genérico.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que \(m=0\) (sistema sem nenhuma equação), qualquer \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\) é, trivialmente, uma “solução” — o sistema tem infinitas soluções por vacuidade.
Verdadeiro Falso
3. O sistema \(x_1+x_2=4\) e \(2x_1+2x_2=8\) (a segunda equação é a primeira multiplicada por \(2\), logo descreve a mesma reta) tem infinitas soluções, e esse conjunto-solução tem uma propriedade que o distingue do caso homogêneo \(x_1+x_2=0\): ele não passa pela origem, já que \(0+0\ne4\).
Verdadeiro Falso
4. Um sistema linear real que admitisse exatamente duas soluções distintas \(\mathbf{x}_1\ne\mathbf{x}_2\) teria, na verdade, que ter infinitas soluções — incluindo toda combinação \(\lambda\mathbf{x}_1+(1-\lambda)\mathbf{x}_2\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 6 · 2 pontos
Teste 6 — Sistemas homogêneos vs. não homogêneos 1. Se um sistema homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) tem apenas a solução trivial, então o sistema não homogêneo correspondente \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), quando tem solução, tem exatamente uma solução (nunca infinitas).
Verdadeiro Falso
2. No caso em que \(A\) é a matriz nula (\(A=\mathbf{0}\)), o sistema homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) tem \(\mathbb{R}^n\) inteiro como conjunto-solução, e o sistema não homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) com \(\mathbf{b}\ne\mathbf{0}\) não tem solução alguma.
Verdadeiro Falso
3. O conjunto-solução de um sistema não homogêneo \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), com \(\mathbf{b}\ne\mathbf{0}\), também é sempre um subespaço vetorial.
Verdadeiro Falso
4. Se \(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\) são duas soluções distintas de \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) com \(\mathbf{b}\ne\mathbf{0}\), a soma \(\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2\) também é, em geral, solução do mesmo sistema.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 7 · 2 pontos
Teste 7 — Combinações lineares e independência 1. Se um conjunto de vetores \(\{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_k\}\) é linearmente dependente, então necessariamente pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos demais.
Verdadeiro Falso
2. Um conjunto formado por um único vetor não nulo, \(\{\mathbf{x}_1\}\) com \(\mathbf{x}_1\ne\mathbf{0}\), é sempre linearmente independente.
Verdadeiro Falso
3. Se um dos atributos da matriz de design fosse literalmente o vetor nulo (uma coluna de zeros, ex.: um atributo binário que nunca é ativado em nenhuma amostra do dataset), essa coluna, junto com qualquer outra coluna não nula, formaria um conjunto linearmente dependente.
Verdadeiro Falso
4. Como um conjunto de vetores linearmente independentes “não tem redundância”, isso significa que todo subconjunto de um conjunto linearmente dependente também deve ser linearmente dependente.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 8 · 2 pontos
Teste 8 — Vetores em excesso e dependência forçada 1. Se \(\mathbf{v}_3\) tivesse sido escolhido de forma completamente aleatória (em vez do valor específico \((4,9)\) usado acima), o resultado — dependência linear entre os três vetores — ainda seria garantido.
Verdadeiro Falso
2. \(d+1\) vetores quaisquer em \(\mathbb{R}^d\) são sempre linearmente dependentes.
Verdadeiro Falso
3. É possível encontrar 5 vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^3\).
Verdadeiro Falso
4. Como o número máximo de vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^d\) é \(d\), isso implica que qualquer conjunto de exatamente \(d\) vetores em \(\mathbb{R}^d\) é automaticamente linearmente independente.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 9 · 2 pontos
Teste 9 — Multicolinearidade em atributos de um dataset 1. Se, em vez de “área em m²” e “área em pés²”, tivéssemos “área em m²” e “área em m² mais um ruído de medição aleatório e independente”, essas duas colunas formariam um par exatamente multicolinear (dependência linear exata).
Verdadeiro Falso
2. No caso em que duas colunas de atributos são idênticas (não só proporcionais, mas exatamente iguais, ex.: o mesmo atributo duplicado por erro de importação de dados), elas são um caso particular de multicolinearidade exata, com fator de proporcionalidade igual a \(1\).
Verdadeiro Falso
3. Duas colunas de um dataset financeiro, “salário anual” e “salário mensal” (uma sendo exatamente 12 vezes a outra, sem nenhuma variação adicional), formariam um par de colunas multicolineares exatas, pela mesma lógica do exemplo de área em m²/pés².
Verdadeiro Falso
4. Como medir o mesmo atributo em duas unidades diferentes tipicamente produz colunas multicolineares exatas, isso significa que toda dupla de atributos fisicamente relacionados entre si (não necessariamente a mesma grandeza em unidades diferentes) também deve ser exatamente multicolinear.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 10 · 2 pontos
Teste 10 — Posto de uma matriz 1. Se uma matriz \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) tivesse todas as suas \(n\) colunas idênticas entre si (e \(n>1\)), seu posto seria exatamente \(1\), independentemente de \(m\) e \(n\).
Verdadeiro Falso
2. O posto de uma matriz \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) nunca pode ser maior que \(\min(m,n)\).
Verdadeiro Falso
3. Uma matriz de design \(X\in\mathbb{R}^{N\times d}\) com \(N\gg d\) (o regime típico de aprendizado supervisionado com muitas observações e poucos atributos) tem, no melhor caso (posto completo), \(\text{rk}(X)=d\) — nunca \(N\), mesmo com \(N\) muito maior que \(d\).
Verdadeiro Falso
4. Uma matriz é dita deficiente em posto quando seu posto é maior do que \(\min(m,n)\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 11 · 2 pontos
Teste 11 — Posto e solvabilidade de sistemas lineares 1. Se \(\text{rk}(A)\ne\text{rk}([A|\mathbf{b}])\) para um sistema específico, isso implica necessariamente que \(\text{rk}([A|\mathbf{b}]) = \text{rk}(A)+1\), nunca uma diferença maior.
Verdadeiro Falso
2. No caso em que \(\mathbf{b}=\mathbf{0}\) (sistema homogêneo), \(\text{rk}([A|\mathbf{0}]) = \text{rk}(A)\) sempre, e portanto o critério de solvabilidade é automaticamente satisfeito.
Verdadeiro Falso
3. Um sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) em que \(A\) tem posto deficiente, mas \(\mathbf{b}\) está fora do espaço gerado pelas colunas de \(A\), não tem solução, mesmo que \(A\) tenha, tecnicamente, “várias direções redundantes” disponíveis.
Verdadeiro Falso
4. Como posto deficiente pode indicar multicolinearidade exata, toda vez que um sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) não tem solução, a causa deve ser posto deficiente de \(A\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 12 · 2 pontos
Teste 12 — Multicolinearidade exata vs. quase-multicolinearidade 1. Se a correlação entre AveRooms e AveBedrms fosse exatamente \(1{,}0\) (em vez de \(0{,}865\)), o posto da matriz de design cairia de \(4\) para \(3\).
Verdadeiro Falso
2. No limite em que a correlação entre dois atributos tende a \(1\) mas nunca a alcança exatamente (ex.: \(0{,}999999\)), o posto da matriz permanece tecnicamente completo, mas o sistema fica numericamente cada vez mais instável.
Verdadeiro Falso
3. Quase-multicolinearidade pode causar instabilidade numérica no ajuste de um modelo, mesmo sem reduzir tecnicamente o posto da matriz.
Verdadeiro Falso
4. Dois atributos de um dataset médico, “peso em kg” e “índice de massa corporal (IMC)”, fortemente correlacionados mas não exatamente proporcionais (o IMC depende também da altura), ilustrariam o mesmo tipo de quase-multicolinearidade discutido para AveRooms/AveBedrms, não uma multicolinearidade exata.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Aula 3 — Projeções ortogonais e mínimos quadrados 12 questões · 4 itens por questão · um erro anula a questão inteira
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Nota: 0/24
Questão 1 · 2 pontos
Teste 1 — Sistemas sobredeterminados e a melhor aproximação 1. Se um sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) fosse subdeterminado (\(n>m\)) em vez de sobredeterminado, ainda haveria um sentido útil para “melhor aproximação” via projeção, mas ele coincidiria trivialmente com uma das infinitas soluções exatas, não com um ponto fora do espaço-coluna de \(A\).
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que \(\mathbf{y}\) está exatamente sobre o espaço-coluna de \(X\), a “melhor aproximação” \(\hat{\mathbf{y}}=X\hat{\mathbf{w}}\) coincide com \(\mathbf{y}\), e o problema de mínimos quadrados se reduz ao caso mais simples de um sistema linear com solução exata, sem necessidade de aproximação.
Verdadeiro Falso
3. Num problema de avaliação de risco de crédito (dataset German Credit), com muito mais clientes registrados (equações) do que atributos considerados no modelo (incógnitas), a mesma lógica de “sistema sobredeterminado sem solução exata, resolvido por projeção” se aplicaria.
Verdadeiro Falso
4. Como um sistema sobredeterminado não tem solução exata, isso implica que qualquer \(\mathbf{w}\) escolhido produzirá um erro de magnitude semelhante — a escolha de \(\mathbf{w}\) não afetaria significativamente a qualidade da aproximação.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 2 · 2 pontos
Teste 2 — A intuição da sombra 1. Se a fonte de luz da analogia da sombra viesse de um ângulo oblíquo fixo (não perpendicular ao subespaço), o ponto de chegada no subespaço, em geral, não seria mais o ponto mais próximo do ponto original.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que o subespaço \(U\) tem a mesma dimensão do espaço ambiente (\(U=V\)), a “sombra” de qualquer ponto sobre \(U\) coincide com o próprio ponto, para qualquer ponto escolhido.
Verdadeiro Falso
3. A ideia de reduzir a dimensionalidade de dados de alta dimensão para visualização (ex.: reduzir os atributos de um dataset para 2 dimensões e plotar um gráfico de dispersão) usa, na essência, a mesma operação geométrica de projeção perpendicular definida acima.
Verdadeiro Falso
4. Como a projeção perpendicular minimiza a distância ao subespaço, ela produz sempre o ponto de menor norma dentro do subespaço, entre todos os candidatos.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 3 · 2 pontos
Teste 3 — Subespaços e o complemento ortogonal 1. Se \(U\) e \(W\) são dois subespaços distintos de mesma dimensão \(M\) dentro de um espaço \(V\) de dimensão \(D\), seus complementos ortogonais \(U^\perp\) e \(W^\perp\) têm, necessariamente, a mesma dimensão entre si (\(D-M\)), ainda que \(U^\perp \ne W^\perp\) como conjuntos.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite \(M=D\) (o subespaço é o espaço inteiro), o complemento ortogonal se reduz ao subespaço trivial \(\{\mathbf{0}\}\).
Verdadeiro Falso
3. Num sistema de recomendação por fatoração de matrizes, decompor o vetor de preferências de um usuário numa componente dentro do subespaço latente aprendido (um subespaço) e numa componente ortogonal a ele (o resíduo não explicado pelos fatores latentes) usa a mesma lógica de decomposição única \(V=U\oplus U^\perp\) definida acima.
Verdadeiro Falso
4. Como todo vetor de \(V\) se decompõe de forma única em \(U\oplus U^\perp\), isso implica que essa decomposição é a única forma possível de escrever qualquer vetor de \(V\) como soma de dois vetores de \(V\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 4 · 2 pontos
Teste 4 — Definição formal de projeção 1. Se o operador de projeção \(\pi:V\to U\) (com matriz \(P\)) satisfaz \(\pi^2=\pi\) (\(P^2=P\)), então, para qualquer vetor \(\mathbf{u}\) que já pertença ao subespaço \(U\), necessariamente \(\pi(\mathbf{u}) = \mathbf{u}\).
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que a matriz de projeção \(P_\pi\) é a matriz identidade, o subespaço \(U\) sobre o qual ela projeta é o espaço ambiente \(V\) inteiro.
Verdadeiro Falso
3. Num sistema de compressão de embeddings via PCA que descarta certas componentes principais (mantendo só um subconjunto delas), a operação de manter as componentes retidas e descartar as demais pode ser descrita, de forma exata, por uma matriz de projeção \(P_\pi\) com \(P_\pi^2=P_\pi\).
Verdadeiro Falso
4. Como toda matriz de projeção satisfaz \(P_\pi^2=P_\pi\), isso significa que qualquer matriz quadrada que satisfaça essa condição algébrica também é, necessariamente, simétrica.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 5 · 2 pontos
Teste 5 — Derivação das Equações Normais 1. Se a condição de ortogonalidade fosse verificada apenas para algumas colunas de \(X\) (não todas), em vez de todas as \(d\) colunas, isso não seria suficiente, em geral, para garantir que o resíduo é ortogonal a todo o espaço-coluna de \(X\).
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite \(d=1\) (uma única coluna, isto é, \(X\) é um vetor-coluna \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^N\)), as Equações Normais \(X^TX\hat{\mathbf{w}}=X^T\mathbf{y}\) se reduzem a uma única equação escalar, \(\hat{w}=\dfrac{\mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}\).
Verdadeiro Falso
3. Num problema de estimar a verdadeira nota de qualidade de uma imagem (usada como rótulo de treino) a partir de \(N\) anotações redundantes de anotadores humanos (crowdsourcing, cada anotação sendo \(y_i = \theta + \text{ruído}\)), a mesma derivação das Equações Normais levaria a uma estimativa que é, essencialmente, a média das anotações.
Verdadeiro Falso
4. Como as Equações Normais são obtidas impondo ortogonalidade coluna a coluna, isso implica que, se duas colunas de \(X\) forem ortogonais entre si, a equação normal correspondente a cada uma delas pode ser resolvida de forma totalmente independente da outra, sem nenhum termo cruzado.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 6 · 2 pontos
Teste 6 — Invertibilidade de \(X^TX\) e a pseudo-inversa 1. Se \(X\) tivesse posto deficiente (colunas linearmente dependentes), \(X^TX\) deixaria de ser invertível, mas isso não impediria, por si só, que existisse algum \(\hat{\mathbf{w}}\) satisfazendo as Equações Normais — apenas deixaria de haver um único.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que \(X\) tem uma única coluna não-nula (\(d=1\), \(\mathbf{x}\ne\mathbf{0}\)), \(X^TX\) é sempre invertível (é um escalar positivo).
Verdadeiro Falso
3. Num problema de regressão sobre um dataset com atributos linearmente dependentes (matriz de design \(X\) de posto deficiente), a pseudo-inversa \((X^TX)^{-1}X^T\) não pode ser calculada da forma usual, mas existem generalizações (pseudo-inversa de Moore-Penrose, via SVD) que contornam exatamente esse problema.
Verdadeiro Falso
4. Como \((X^TX)^{-1}X^T\) é chamada de pseudo-inversa de \(X\), isso significa que ela satisfaz \(X\cdot(X^TX)^{-1}X^T = I\) (a identidade), do mesmo jeito que uma inversa de matriz quadrada de verdade.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 7 · 2 pontos
Teste 7 — Aplicação numérica e verificação de ortogonalidade 1. Se, em vez de comparar \(\hat{\mathbf{w}}\) obtido pela fórmula fechada com o algoritmo lstsq (mínimos quadrados) de uma biblioteca numérica, comparássemos com uma resolução por eliminação de Gauss do sistema \(X^TX\hat{\mathbf{w}}=X^T\mathbf{y}\), esperaríamos, a menos de erro de arredondamento, o mesmo vetor.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que \(\mathbf{y}\) é o vetor nulo, o \(\hat{\mathbf{w}}\) que resolve as Equações Normais (com \(X\) de posto completo) é necessariamente o vetor nulo também.
Verdadeiro Falso
3. Num modelo de regressão que prevê o preço de um ativo financeiro a partir de indicadores técnicos (outro dataset, não o California Housing), verificar que o resíduo entre o valor previsto e o valor real é ortogonal aos atributos do modelo é um teste válido de correção, do mesmo jeito que se aplicaria ao ajuste do California Housing descrito acima.
Verdadeiro Falso
4. Como o resíduo é ortogonal a cada coluna de \(X\), isso implica que o modelo captura toda a informação relevante contida nos dados disponíveis para prever \(\mathbf{y}\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 8 · 2 pontos
Teste 8 — \(R^2\) e o que a ortogonalidade do resíduo garante 1. Se o \(R^2\) do ajuste fosse exatamente \(0\) (o modelo não explica nada da variação de \(\mathbf{y}\) além da média), o resíduo ainda seria ortogonal a cada coluna de \(X\), contanto que \(\hat{\mathbf{w}}\) resolva as Equações Normais.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite \(R^2=1\) (ajuste perfeito), o resíduo \(\mathbf{y}-X\hat{\mathbf{w}}\) é o vetor nulo.
Verdadeiro Falso
3. Num modelo de previsão de nota de estudantes usando só o número de horas de sono (um único atributo, claramente insuficiente para prever notas), seria possível obter um \(R^2\) baixo e, ainda assim, um resíduo perfeitamente ortogonal a essa única coluna — exatamente como ocorre no ajuste com os 4 atributos do California Housing descrito acima (\(R^2\approx0{,}518\) com resíduo ortogonal).
Verdadeiro Falso
4. Como o resíduo é sempre ortogonal ao espaço-coluna de \(X\) quando \(\hat{\mathbf{w}}\) resolve as Equações Normais, um \(R^2\) baixo indica necessariamente um erro no cálculo de \(\hat{\mathbf{w}}\), não uma limitação dos atributos escolhidos.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 9 · 2 pontos
Teste 9 — Posto e multicolinearidade exata 1. Se a coluna redundante fabricada no exemplo acima fosse \(-5\times\)AveRooms em vez de \(2\times\)AveRooms, o posto de \(X\) ainda cairia da mesma forma ao ser adicionada (permaneceria em 4, não subiria para 5).
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que todas as \(d\) colunas de \(X\) fossem múltiplos escalares de uma única coluna não-nula, o posto de \(X\) seria exatamente \(1\), independentemente do valor de \(d\).
Verdadeiro Falso
3. Num dataset usado para prever demanda de energia elétrica em que um atributo de temperatura é reportado tanto em Celsius quanto em Fahrenheit (uma transformação linear afim exata da outra, não apenas um múltiplo escalar), a inclusão de ambas as colunas na matriz de design também produziria posto deficiente, pelo mesmo princípio da coluna duplicada exata descrita acima.
Verdadeiro Falso
4. Como a coluna redundante fabricada não acrescenta nenhuma direção independente ao espaço-coluna de \(X\), isso implica que removê-la necessariamente reduz a qualidade das previsões do modelo ajustado.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 10 · 2 pontos
Teste 10 — Quase-multicolinearidade e número de condição 1. Se, em vez de perturbar MedHouseVal em 1% do desvio-padrão, perturbássemos em 10 vezes esse valor (10% do desvio-padrão), a variação relativa esperada no peso de AveBedrms no par quase-dependente seria, ao menos aproximadamente, também maior do que a observada com a perturbação de 1% — o número de condição alto amplifica perturbações maiores tanto quanto amplifica as pequenas.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que o número de condição de \(X^TX\) tende a infinito, \(X^TX\) se torna, no limite, singular (não invertível).
Verdadeiro Falso
3. Num modelo de precificação de opções financeiras com duas variáveis de entrada quase redundantes (ex.: duas medidas de volatilidade calculadas por métodos ligeiramente diferentes), a mesma fragilidade numérica (pesos instáveis sob pequena perturbação dos dados) apareceria, mesmo com o posto de \(X\) tecnicamente completo.
Verdadeiro Falso
4. Como o número de condição de \(X^TX\) com os 4 atributos completos (\(\approx 23\,460\)) é maior do que o do par isolado AveRooms/AveBedrms (\(\approx 420\)), isso implica que a previsão \(\hat{\mathbf{y}}=X\hat{\mathbf{w}}\) do modelo completo é proporcionalmente mais instável do que a previsão do modelo com só esse par de atributos.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 11 · 2 pontos
Teste 11 — A matriz de projeção \(P_\pi\) 1. Se, em vez de projetar \(\mathbf{y}\) sobre \(\text{col}(X)\), quiséssemos projetar sobre um subespaço diferente gerado pelas colunas de outra matriz \(Z\) (mesmas dimensões de \(X\)), a matriz de projeção correspondente seria \(P_\pi'=Z(Z^TZ)^{-1}Z^T\), com a mesma propriedade \(P_\pi'^2=P_\pi'\).
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que as colunas de \(X\) já são ortonormais (\(X^TX=I\)), a matriz de projeção se simplifica para \(P_\pi=XX^T\).
Verdadeiro Falso
3. Em compressão de imagem via PCA, manter apenas as \(k\) componentes principais mais informativas e descartar as demais pode ser descrito por uma matriz de projeção \(P_\pi\) com as mesmas propriedades (\(P_\pi^2=P_\pi\), simétrica) definidas acima.
Verdadeiro Falso
4. Como \(P_\pi=X(X^TX)^{-1}X^T\in\mathbb{R}^{N\times N}\) e toda matriz quadrada invertível que satisfaz \(P^2=P\) só pode ser a identidade, isso implica que \(P_\pi\) só pode ser a matriz identidade quando \(X\) tem posto completo.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 12 · 2 pontos
Teste 12 — Síntese: da falta de solução ao número de condição 1. Se fosse possível calcular o número de condição de \(X^TX\) exatamente a partir da razão entre o maior e o menor autovalor de \(X^TX\), isso tornaria desnecessário o tipo de experimento de perturbação numérica descrito acima (perturbar MedHouseVal e observar a oscilação de \(\hat{\mathbf{w}}\)) para detectar fragilidade — mas o experimento de perturbação continuaria sendo uma forma válida de demonstrar o efeito prático dessa fragilidade.
Verdadeiro Falso
2. No caso-limite em que \(X\) tem colunas mutuamente ortogonais e todas de norma \(1\) (uma base ortonormal do espaço-coluna), o número de condição de \(X^TX\) é exatamente \(1\) — o melhor condicionamento numérico possível.
Verdadeiro Falso
3. Num pipeline de aprendizado de máquina em que os atributos de entrada são primeiro padronizados (média 0, desvio-padrão 1) antes do ajuste, essa etapa de pré-processamento pode, dependendo dos dados, influenciar o número de condição de \(X^TX\) resultante, mesmo sem alterar o posto de \(X\).
Verdadeiro Falso
4. Como as Equações Normais fornecem uma fórmula fechada exata para \(\hat{\mathbf{w}}\) sempre que \(X\) tem posto completo, isso implica que essa fórmula é sempre o método numericamente mais recomendado para calcular \(\hat{\mathbf{w}}\) na prática, independentemente do número de condição de \(X^TX\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Aula 4 — Autovalores, autovetores e matrizes simétricas 8 questões · 4 itens por questão · um erro anula a questão inteira
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Nota: 0/16
Questão 1 · 2 pontos
Teste 1 — Autovalores e autovetores: a equação básica 1. Se \(\mathbf{x}\) é autovetor de \(A\) associado ao autovalor \(\lambda=0\), então \(\mathbf{x}\) pertence ao núcleo (espaço-nulo) de \(A\).
Verdadeiro Falso
2. Uma matriz de rotação pura em \(\mathbb{R}^2\) por um ângulo de \(90°\) não tem nenhum autovetor real, porque nenhuma direção não-nula do plano é mapeada sobre si mesma (nem esticada, nem invertida) por essa rotação.
Verdadeiro Falso
3. Num sistema dinâmico discreto \(\mathbf{x}_{k+1}=A\mathbf{x}_k\), se \(\mathbf{x}_0\) for exatamente um autovetor de \(A\) com autovalor \(\lambda\), então toda a trajetória futura \(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots\) permanece sobre a mesma reta que \(\mathbf{x}_0\), só variando em magnitude por potências de \(\lambda\).
Verdadeiro Falso
4. Como o autovetor associado a um autovalor não é único, a equação de autovalor \(A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\) admite, para qualquer \(A\) e qualquer \(\lambda\) real, pelo menos um autovetor não-nulo que a satisfaça.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 2 · 2 pontos
Teste 2 — O polinômio característico 1. Se o polinômio característico de uma matriz \(A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\) tiver uma raiz dupla (discriminante zero em Bhaskara), isso garante automaticamente que \(A\) tem apenas um autovetor linearmente independente associado a essa raiz.
Verdadeiro Falso
2. Multiplicar uma matriz \(A\) inteira por um escalar \(c\ne 0\) (obtendo \(cA\)) preserva exatamente os mesmos autovetores de \(A\), mas multiplica cada autovalor por \(c\).
Verdadeiro Falso
3. Numa cadeia de Markov usada em aprendizado por reforço, descrita por uma matriz de transição de estados \(3\times 3\), encontrar os autovalores dessa matriz via seu polinômio característico (grau 3) é uma aplicação legítima da mesma técnica de raízes do polinômio característico vista acima para matrizes \(2\times 2\).
Verdadeiro Falso
4. Como \(\det(A-\lambda I)=0\) é a condição para autovalor, isso implica que \(\det(A)=0\) é condição necessária para que \(A\) tenha algum autovalor real.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 3 · 2 pontos
Teste 3 — Não-unicidade e autoespaços 1. Se dois autovetores distintos, \(\mathbf{x}_1\) e \(\mathbf{x}_2\), de uma mesma matriz \(A\) (não necessariamente simétrica) estiverem associados ao mesmo autovalor \(\lambda\), então qualquer combinação linear não-nula \(c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2\) também é autovetor de \(A\) com esse mesmo autovalor \(\lambda\).
Verdadeiro Falso
2. Se uma matriz \(A\in\mathbb{R}^{2\times 2}\) tivesse dois autovalores distintos, mas um deles com autoespaço de dimensão \(2\), isso seria matematicamente possível para essa matriz.
Verdadeiro Falso
3. Num problema de classificação de imagens em que cada “direção” do espaço de atributos representasse uma característica visual, um autoespaço de dimensão maior que \(1\) significaria, na prática, que existe mais de uma direção de atributos igualmente “especial” (mesmo fator de escala) para a transformação em questão.
Verdadeiro Falso
4. Como o vetor nulo nunca é considerado autovetor por definição, isso implica que um autoespaço \(E_\lambda\) nunca contém o vetor \(\mathbf{0}\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 4 · 2 pontos
Teste 4 — Teorema Espectral Real 1. Se duas matrizes simétricas \(A\) e \(B\) compartilhassem exatamente a mesma base ortonormal de autovetores (mesmo \(Q\) na decomposição espectral, com \(\Lambda\) possivelmente diferentes), então \(A\) e \(B\) comutariam, ou seja, \(AB=BA\).
Verdadeiro Falso
2. O Teorema Espectral Real garante que toda matriz simétrica \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) tem exatamente \(n\) autovalores distintos entre si.
Verdadeiro Falso
3. Numa matriz Laplaciana de grafo usada em clustering espectral (sempre simétrica), o Teorema Espectral Real garante autovalores reais e autovetores ortogonais, ainda que esse contexto não tenha nenhuma relação direta com regressão ou projeção.
Verdadeiro Falso
4. Se uma matriz \(A\) tivesse autovalores reais, mas seus autovetores associados a autovalores distintos não fossem ortogonais entre si, isso seria suficiente para concluir que \(A\) não é simétrica.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 5 · 2 pontos
Teste 5 — Definitude positiva 1. Se uma matriz simétrica \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) tiver exatamente um autovalor igual a zero e todos os demais estritamente positivos, então \(A\) é semidefinida positiva, mas não definida positiva.
Verdadeiro Falso
2. A soma de duas matrizes simétricas definidas positivas de mesma dimensão, \(A+B\), é sempre definida positiva.
Verdadeiro Falso
3. Num problema de otimização de portfólio financeiro, se a matriz de covariância dos retornos dos ativos não fosse definida positiva (algum autovalor exatamente zero), isso indicaria a existência de uma combinação de ativos com variância nula — um portfólio livre de risco a partir de ativos individualmente arriscados.
Verdadeiro Falso
4. Como a forma quadrática \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\) de uma matriz definida positiva nunca é negativa, isso implica que \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=0\) é impossível para \(A\) definida positiva e \(\mathbf{x}\) não-nulo qualquer.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 6 · 2 pontos
Teste 6 — Quociente de Rayleigh e número de condição 1. Se \(\mathbf{x}\) for exatamente um autovetor de \(A\) associado ao autovalor \(\lambda_{\max}(A)\), então o quociente de Rayleigh \(\mathbf{x}^TA\mathbf{x}/\mathbf{x}^T\mathbf{x}\) avaliado nesse \(\mathbf{x}\) é exatamente igual a \(\lambda_{\max}(A)\).
Verdadeiro Falso
2. Se todos os autovalores de uma matriz simétrica definida positiva \(A\) dobrarem de valor (cada \(\lambda_i\to 2\lambda_i\)), o número de condição de \(A\) também dobra.
Verdadeiro Falso
3. Num sistema de equações normais mal-condicionado por causa de dois atributos redundantes de um dataset (quase perfeitamente correlacionados), remover um dos dois atributos do modelo tende a aumentar o menor autovalor relativo de \(X^TX\) e, com isso, reduzir o número de condição.
Verdadeiro Falso
4. Como o número de condição de uma matriz simétrica definida positiva é sempre maior ou igual a \(1\), isso implica que qualquer matriz com número de condição exatamente igual a \(1\) tem que ser, necessariamente, a matriz identidade.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 7 · 2 pontos
Teste 7 — \(X^TX\): simetria e as duas faces desta aula 1. Se duas colunas de uma matriz de design \(X\) fossem exatamente ortogonais entre si (produto interno zero) e tivessem a mesma norma, a submatriz \(2\times 2\) correspondente de \(X^TX\) restrita a essas duas colunas seria um múltiplo escalar da identidade, com número de condição igual a \(1\).
Verdadeiro Falso
2. Para qualquer matriz retangular \(X\in\mathbb{R}^{N\times d}\) com \(N\ne d\), a própria matriz \(X\) (não \(X^TX\)) sempre tem \(\min(N,d)\) autovalores reais, pela mesma lógica do polinômio característico aplicada a \(X^TX\).
Verdadeiro Falso
3. Numa matriz de covariância genética (relacionando a expressão de vários genes numa amostra de pacientes), o mesmo raciocínio de autovalor pequeno \(\Rightarrow\) direção quase redundante entre variáveis se aplicaria, ainda que o domínio seja biológico, não imobiliário.
Verdadeiro Falso
4. Como \(X^TX\) é sempre simétrica semidefinida positiva (independentemente do posto de \(X\)), isso implica que \(X^TX\) é sempre invertível, qualquer que seja \(X\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 8 · 2 pontos
Teste 8 — Covariância empírica e a semente de PCA 1. Se a matriz de covariância empírica de dois atributos tiver um dos autovalores muito próximo de zero, isso indica que os dados, nesse par de atributos, estão quase inteiramente concentrados ao longo de uma única direção no plano.
Verdadeiro Falso
2. Padronizar cada atributo (subtrair a média, dividir pelo desvio-padrão) antes de calcular a covariância nunca muda a direção do autovetor principal, só a magnitude do autovalor associado.
Verdadeiro Falso
3. Num dataset com atributos em escalas muito diferentes entre si (ex.: idade em anos e renda anual em milhares de reais, como no dataset German Credit), calcular a covariância bruta (sem padronizar) tende a produzir um autovetor principal dominado pelo atributo de maior variância numérica, não necessariamente o mais relevante para o problema.
Verdadeiro Falso
4. Como a matriz de covariância é sempre semidefinida positiva, isso implica que a soma das variâncias de todos os atributos (o traço da matriz) é sempre igual à soma dos quadrados das covariâncias fora da diagonal.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Aula 5 — SVD e aproximações de baixo posto 9 questões · 4 itens por questão · um erro anula a questão inteira
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0 de 9 questões corrigidas
Nota: 0/18
Questão 1 · 2 pontos
Teste 1 — Existência e formato da SVD 1. A SVD de \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) sempre existe, mesmo quando \(A\) tem alguns autovalores complexos (no caso em que \(A\) é quadrada).
Verdadeiro Falso
2. Se \(A\in\mathbb{R}^{5\times 2}\) tiver posto \(2\), sua matriz \(\Sigma\) na SVD reduzida é uma matriz diagonal \(2\times 2\) com ambas as entradas estritamente positivas.
Verdadeiro Falso
3. Numa matriz de adjacência de um grafo bipartido (linhas = usuários, colunas = produtos, entrada \(1\) se o usuário comprou o produto), a SVD está bem definida mesmo que o número de usuários seja muito diferente do número de produtos.
Verdadeiro Falso
4. Como toda matriz quadrada tem autovalores (reais ou complexos) e toda matriz retangular tem valores singulares, isso implica que autovalor e valor singular são, no fundo, o mesmo conceito com nomes diferentes.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 2 · 2 pontos
Teste 2 — Construção via \(A^TA\) e \(AA^T\) 1. Se \(A^TA\) tiver um autovalor com multiplicidade geométrica \(2\) (autoespaço de dimensão \(2\)), os dois vetores singulares à direita associados a esse autovalor não são únicos — qualquer base ortonormal desse autoespaço serve.
Verdadeiro Falso
2. Se \(A\) for a matriz nula (\(A=\mathbf{0}\), todas as entradas zero), a construção da SVD descrita acima ainda produz uma SVD válida, com todos os valores singulares iguais a zero.
Verdadeiro Falso
3. Numa matriz de co-ocorrência de palavras (linhas e colunas ambas indexadas pelo vocabulário, entrada = frequência conjunta), \(A^TA\) e \(AA^T\) continuam sendo, cada uma, simétricas e semidefinidas positivas, pela mesma prova geral (ver Convenções).
Verdadeiro Falso
4. Como os vetores singulares à esquerda são definidos como \(\mathbf{u}_i=A\mathbf{v}_i/\sigma_i\), isso implica que, para calcular \(U\), é sempre necessário calcular também a decomposição espectral de \(AA^T\) separadamente.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 3 · 2 pontos
Teste 3 — Valores singulares e norma espectral 1. Se todos os valores singulares de \(A\) forem iguais a um mesmo valor \(c>0\), então \(\|A\mathbf{x}\|_2=c\|\mathbf{x}\|_2\) para todo vetor \(\mathbf{x}\), não só para o vetor que maximiza a razão.
Verdadeiro Falso
2. Para uma matriz identidade \(I_n\in\mathbb{R}^{n\times n}\), a norma espectral \(\|I_n\|_2\) tende a infinito conforme \(n\to\infty\).
Verdadeiro Falso
3. Na matriz de pesos de uma camada linear de uma rede neural, \(\|W\|_2\) (a norma espectral) limita o quanto essa camada pode, no pior caso, amplificar a norma de um vetor de ativação que passa por ela.
Verdadeiro Falso
4. Como a norma espectral é o maior valor singular, isso implica que a soma de todos os valores singulares de \(A\) é igual à norma de Frobenius de \(A\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 4 · 2 pontos
Teste 4 — Aproximação de baixo posto e SVD truncada 1. Se \(\sigma_3\) de uma matriz \(A\) de posto \(5\) for exatamente igual a \(\sigma_4\), a aproximação de posto \(3\), \(\hat{A}^{(3)}\), ainda assim fica bem definida e única.
Verdadeiro Falso
2. No limite em que se usa \(k=\text{posto}(A)\) (isto é, sem truncar nada), a aproximação \(\hat{A}^{(k)}\) coincide exatamente com \(A\).
Verdadeiro Falso
3. Numa matriz de avaliações de estudantes (linhas = estudantes, colunas = provas, entrada = nota), uma aproximação de posto \(1\) equivaleria, aproximadamente, a resumir cada estudante por uma única nota de “habilidade geral” e cada prova por um único peso de “dificuldade”.
Verdadeiro Falso
4. Como a aproximação de posto-\(k\) descarta os \(\sigma_i\) menores, isso implica que ela sempre preserva os valores absolutos exatos das entradas mais extremas (maiores em módulo) da matriz original \(A\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 5 · 2 pontos
Teste 5 — Eckart-Young-Mirsky 1. Se existisse uma matriz \(B\) de posto \(k\) com \(\|A-B\|_2\) estritamente menor que \(\|A-\hat{A}^{(k)}\|_2\), isso contradiria diretamente o Teorema de Eckart-Young-Mirsky.
Verdadeiro Falso
2. No caso extremo \(k=0\) (a única matriz de “posto \(0\)” é a matriz nula), o Teorema de Eckart-Young-Mirsky garante que \(\|A-\mathbf{0}\|_2=\sigma_1\), isto é, a própria norma espectral de \(A\).
Verdadeiro Falso
3. Num sistema de compressão de imagens que usa aproximação de baixo posto (como o clássico exemplo de comprimir a imagem de um monumento reduzindo o posto de sua matriz de pixels), a mesma garantia de otimalidade do Teorema de Eckart-Young-Mirsky se aplica, já que comprimir uma imagem é, matematicamente, aproximar sua matriz de pixels por uma de posto menor.
Verdadeiro Falso
4. O próprio nome “Eckart-Young-Mirsky” vem da generalização de Mirsky (1960): a mesma \(\hat{A}^{(k)}\) que minimiza \(\|A-B\|_2\) também minimiza \(\|A-B\|_F\) (norma de Frobenius) entre as matrizes de posto \(k\) — e, por ser a mesma matriz minimizadora nos dois casos, isso implica que o valor mínimo do erro é numericamente igual nas duas normas.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 6 · 2 pontos
Teste 6 — Decomposição Polar 1. Se a matrix quadrada \(A\) já for ortogonal (\(A^TA=I\)), sua Decomposição Polar tem \(S=I\) e \(Q=A\).
Verdadeiro Falso
2. Se todos os valores singulares da matrix quadrada \(A\) forem iguais entre si (\(\sigma_1=\dots=\sigma_n=c\)), o fator \(S\) da Decomposição Polar é exatamente \(cI\) (um múltiplo escalar da identidade).
Verdadeiro Falso
3. Numa iteração de treinamento de rede neural que ortogonaliza a matriz de atualização de pesos antes de aplicá-la (o algoritmo iterativo de Newton-Schulz), o alvo dessa ortogonalização é precisamente o fator \(Q\) da Decomposição Polar da matriz de atualização original.
Verdadeiro Falso
4. Como \(S\) é sempre semidefinida positiva na Decomposição Polar, isso implica que \(S\) é sempre invertível, qualquer que seja \(A\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 7 · 2 pontos
Teste 7 — SVD vs. decomposição espectral 1. Se \(A\) for simétrica, a SVD de \(A\) e a decomposição espectral de \(A\) (ver Convenções) coincidem exatamente, com \(U=V=Q\) e \(\Sigma=|\Lambda|\) (valor absoluto de cada autovalor).
Verdadeiro Falso
2. Se \(A\) for simétrica mas tiver algum autovalor negativo, os vetores singulares (à esquerda ou à direita) associados a esse autovalor podem diferir, em sinal, do autovetor correspondente da decomposição espectral.
Verdadeiro Falso
3. Numa matriz de covariância empírica de atributos (sempre simétrica semidefinida positiva), calcular a SVD ou a decomposição espectral dá exatamente o mesmo resultado, sem nenhuma diferença de sinal a se preocupar.
Verdadeiro Falso
4. Como toda matriz simétrica tem decomposição espectral (ver Convenções), isso implica que só matrizes simétricas têm SVD, já que a SVD seria apenas um caso particular da decomposição espectral.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 8 · 2 pontos
Teste 8 — A SVD aplicada a \(X\): posto e número de condição 1. Se uma quinta coluna fosse adicionada a uma matriz de design \(X\in\mathbb{R}^{16\,640\times4}\) como cópia exata de uma coluna já existente (multiplicada por um escalar não-nulo), o quinto valor singular da nova matriz \(X'\in\mathbb{R}^{16\,640\times 5}\) seria exatamente zero.
Verdadeiro Falso
2. Aumentar artificialmente a escala de uma única coluna de \(X\) (por exemplo, medir um atributo em unidades \(1000\times\) maiores) nunca muda nenhum dos valores singulares de \(X\).
Verdadeiro Falso
3. Num modelo de regressão sobre o dataset Breast Cancer Wisconsin (atributos em escalas bem diferentes, como área do núcleo celular vs. simetria), a mesma relação \(\text{cond}(X^TX)=\text{cond}(X)^2\) se aplicaria à matriz de design correspondente.
Verdadeiro Falso
4. Como \(\sigma_i(X)^2=\lambda_i(X^TX)\) para todo \(i\), isso implica que o vetor singular à esquerda \(\mathbf{u}_1\) de \(X\) é igual ao autovetor principal de \(X^TX\).
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Questão 9 · 2 pontos
Teste 9 — Filtragem colaborativa e interpretação de perfis latentes 1. Na matriz de notas de filmes descrita nas Convenções acima, se um quarto espectador desse nota \(5\) a todos os quatro filmes por igual, esse espectador contribuiria para um valor singular adicional além dos três já existentes, mesmo que sua nota não distinga nenhum tema.
Verdadeiro Falso
2. No limite em que só se usa o primeiro perfil latente (\(k=1\)), a filtragem colaborativa deste exemplo passa a prever a mesma proporção relativa de notas de ficção científica para qualquer espectador.
Verdadeiro Falso
3. Num sistema de recomendação de música (matriz usuário \(\times\) artista, notas de audição implícitas), a mesma lógica de perfis latentes via SVD/aproximação de baixo posto se aplicaria, trocando “filme”/“espectador” por “artista”/“ouvinte”.
Verdadeiro Falso
4. Como a interpretação de \(\mathbf{u}_i\)/\(\mathbf{v}_i\) como “temas”/“perfis” depende da suposição de que as notas seguem exatamente uma combinação linear desses perfis, essa interpretação deveria ser tratada como uma leitura conveniente, não como um fato provado sobre os dados.
Verdadeiro Falso
Corrigir questão Os simulados foram montados a partir do curso Optimization and Linear Algebra for Machine Learning , da Unicamp, e das listas das Aula 1 , Aula 2 , Aula 3 , Aula 4 e Aula 5 . Consulte as páginas oficiais para acompanhar as notas de aula e eventuais atualizações do professor.
